Sanayi devrimini hepimiz az buçuk
biliyoruzdur. Bütün o buharlı makineler, hareket eden parçalar, dişliler… Hmm,
dişliler. Eveet, dişliler. Bu blogda soruyu biraz erkenden alacağım gibime
geliyor. Şimdi diyeceksiniz “Evet İlter, dişliler ama ne oldu işte? Ne
dişliler? Neden dişliler?”. Şimdi şöyle ki, dişli oranları; matematik ile iç
içe bir mühendislik bölümüdür. Dişli kutuları, transmisyonlar, vitesler vb. her
mekanizma, matematiksel birtakım oranlar üzerinden çalışır. Bugün, sizlere
dişlilerin altındaki matematiği; hız ve kuvvet değerlerini ve bunların hangi
formüller yüzünden farklı şeyler olduklarını açıklayacağım. Kuvvetten kazanç
ile yoldan kazanç kavramlarının dişliler üzerinde nasıl işlediğine ve basit makinelerin
arkasındaki matematiğe birlikte göz atacağız.
Dişliler, basitçe üzerlerinde dişler olan
çarklardır. İki dişlideki dişlerin sayıları farklı olsa da genellikle dişlerin
boyutu aynı olur. Yani dişlerin sayısı ile çarkın çevresi bire bir doğru
orantılıdır. Bu yazıdaki açıklamaların kaynağı bu olacaktır.
İki önemli kavram:
Girdi kuvveti: ilk dişliye uygulanan kuvvet.
Çıktı kuvveti: dişli sisteminden alınan kuvvet
çıktısı.
Yasal Uyarı: Bu blog, matematik ve fizik başlıklarını
içeren disiplinlerarası bir blogdur. Potansiyel olarak oluşabilecek yangı,
sancı ve dişlileri hayal etmekten kaynaklı baş dönmesinden tarafım sorunlu
değildir : )
Şimdi, yukarıda bahsettiğim üzere diş sayısı ile çevre uzunluğu doğru orantılı olduğu için, ve çevre ile yarıçap da doğru orantılı olduğu için (Çevre = 2πr) diş sayısı ile yarıçap da doğru orantılıdır. Hesaplama kolaylığı açısından bu blogda diş sayısı kullanacağım.
Vites oranı ile başlayalım. Vites oranı, tekerleğe/şafta/hareket
ettirilecek şey her ne ise ona bağlı olan dişlinin diş sayısı ile güç verilen
dişlinin diş sayısının (ki input deniyor buna) oranı olarak tanımlanır. Vites
oranı ne kadar artarsa hız o kadar azalacak, fakat tork o kadar artacaktır. Bunu
formüllere döktüğümüzde şu sonuç karşımıza çıkacaktır:
Burada vites oranı; çıktı dişlisinin diş
sayısının giriş dişlisinin diş sayısına oranı olarak tanımlanır. Mesela bizim
elimizde iki dişli olsun. Bu iki dişliden motora bağlı olanın 20 dişi,
tekerleğe bağlı olanın ise 50 dişi olsun. Kullandığımız motor ise 10 newton güç
üretiyor diyelim.
Vites oranı, çıktı dişlisindeki diş sayısının girdi dişlisindeki diş sayısına oranıdır. Bunu da matematiksel bir formül olan çemberin çevre formülüne bağlarsak vites oranı; şu şekilde karşımıza çıkar:
Bu durumda iki dişlinin de çevre
uzunluğunu diş uzunluğuna bölerek birim yarıçap başına düşen diş sayısının
oranını bulmuş oluruz. Diş boyutları birbirleri ile sadeleşir; ayrıca 2π ögeleri de sadeleşir. Bunun ardından dişli oranının r2/r1
olduğu anlaşılır. (Aşağıdaki görselde mavi dişli, turuncu dişliyi döndürüyorsa
turuncu olanın yarıçapı r2, mavininki r1’ olarak işleme
alınır.)
Burada soldaki mavi dişli, motora bağlı olan girdi
dişlimiz; sağdaki turuncu dişli ise çıktı dişlimiz. Bu iki dişliden üretilecek çıktı
kuvvetini hesaplamak için şu işlemi yaparız:
Bu, çarkların matematiği adına kullanılan
temel formül olarak tanımlanabilir. Fakat bu formül, çıktı kuvveti hesaplamak
için kullanılır. Girdi kuvvetini hesaplamak için bu formülü düzenleyebiliriz.
Bunu da her tarafa dişli oranının çarpma işlemine göre tersini ekleyerek
yapabiliriz. Bu durumda şu denklem karşımıza çıkacaktır:
Bu formülü de sadeleştirirsek şu formül
elimize ulaşacaktır:
Girdi kuvveti de böyle bulunur.
Bu kısma kadar dişli oranı ile kuvvet ilişkisini
göstermiş olduk. Şimdi ise çemberlerin çevreleri üzerinden dişlilerin hızlarına
bakacağız.
Diş sayısı ile çevrenin birebir doğru orantılı
olduğunu yukarıda göstermiştik. Dişlilerin birbirlerine göre dönüş hızlarında
(rpm; yani dakikadaki dönüş sayısı olarak ölçeceğiz) ise yine diş sayısı
kullanılır. Yukarıdaki denklemlerde sadeleştirildiği gibi diğer unsurlar gider
ve yarıçap değerleri ile çevrelerin oranı aynı kalır. (2π değerleri sadeleşir). Bu durumda yarıçap da kullansak, diş sayısı da
kullansak, çevre değeri de kullansak sonuç aynı kalacaktır.
Dişli oranı, diş sayısının oranını verecektir.
İlk dişlinin bir turu sonucunda 2. Dişli; 1. Dişlinin diş sayısı kadar ilerlemiş
olacaktır. Bu durumda dönüş hızını 1/dişli oranı olarak hesaplayabiliriz. Bu
durumda girdi dişlisi 10 dişe sahip, çıktı dişlisi 25 dişe sahip örneğimize
geri dönersek; motorumuz; ilk dişliyi 100 rpm hız ile döndürüyor. Dişli
oranımız ise 25/10 = 2.5 idi hatırlayacağınız üzere. Şimdi; hızı bulmak için bu
verileri denkleme dökeceğiz.
Bu denklem ile, çıkış dişlisinin dönüş hızını
40 rpm olarak buluruz.
Bulduğumuz değerlere bakarsak 10 newton kuvvet
ve 100 rpm ile dönen bir dişli, 25 newton kuvvet ve 40 rpm ile dönen bir
dişliye dönüştü. Kuvvet 2.5 kat artarken dönüş hızı 2.5 kat azaldı.
Uzun lafın kısası; eğer kuvvetten 2 kat kazanç
elde ederseniz hızdan 2 kat kaybedersiniz. Dişli sistemlerinde kuvvet ile hız, bire
bir ters orantılıdır : D
Kaynaklar:
https://www.sae.org/binaries/content/assets/cm/content/learn/education/motortoycar-samplelessonplan.pdf
https://itstillruns.com/calculate-gear-ratios-torque-8140164.html
https://www.sci.brooklyn.cuny.edu/~kammet/gear_notes.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Gear_train
Yorumlar
Yorum Gönder