Üç, çok farklı
alanlarda çok farklı anlamlar taşıyabilen bir sayıdır. Mesela bir futbol
fanatiğiyseniz üç demek, Üç Büyükler anlamına gelebilir; buradan anılara, takımın
renkleri uğruna yaptığınız holiganlıklara doğru hülyalı bir yolculuğa
çıkabilirsiniz. Fakat anladığım kadarıyla matematikçilerin düşünce şekli bundan
oldukça farklı. Akıllarına iki şey geliyor. Bunlardan birisi Öklid ve üç bağıntısı,
diğeri de 3 farklı geometri türü. Evet; bizim şu ana kadar bildiğimiz bütün
kurallar, denklemler, eşitlikler, bağıntılar… Hepsi Öklid geometrisinde kısılıp
kalmış gibi… Veya öyleler mi? İşte bugün, burada siz okurlarım ile bu konu
başlığı üzerinde duracağız. Uzun lafın kısası, üç farklı geometriyi karşılaştırmalı
olarak inceleyeceğiz. Çalışma prensipleri ve kullandıkları düzlemleri (Öklid dışında
hiçbir tanesi düz değil ama neyse) ve uzayları inceleyeceğiz.
Şimdi
yine aynı tepkiyi alacak gibiyim: “İlter, şimdi böyle üç tane farklı tür falan
diyorsun, nece iştir bunlar???”. Şimdi öncelikle bunu açıklayalım. Hepimiz Öklid
geometrisini az buçuk biliyoruz. Bir düzlem üzerinde şekiller ile uğraştığımız,
bir üçgenin iç açılarının 180 derece olduğu, karenin ve dikdörtgenin karşılıklı
kenarlarının paralel ve birbirine dik olduğu geometrik sistem olur kendisi.
Daha bilimsel bir tanım yapmak gerekirse iki boyutlu bir düzlem veya üç boyutlu
bir uzay üzerinde çalışan geometri türüdür. 23 tane tanıma ve 5 tane aksiyoma
sahiptir (Aksiyom: yeterli ve net düzeyde kanıtlandıkları için aksi iddia
edilemeyen, mutlak doğru önermelerdir. Mesela 1 = 1 gibi).
Öklid’in 23 tanımı şu şekilde sıralanabilir:
1-
Nokta; genişlik, yükseklik, hacim
gibi hiçbir boyutsal niceliği olmayan şeydir.
2-
Çizgi, noktanın genişliği
olmamasından kaynaklı olarak genişlik niceliğine sahip olmayan uzunluktur.
3-
Bir çizgi, bir nokta ile başlar ve
bir nokta ile biter. Yani çizginin başında da sonunda da nokta vardır.
4-
Doğru, üzerindeki noktalara göre eşit
olarak yatan çizgidir
5-
Yüzey, genişlik ve en olarak
sadece ve sadece 2 niceliğe sahip şeydir.
6-
Bir yüzey, bir çizgi ile başlar ve
bir çizgi ile biter. Yani her iki ucu da birer çizgidir.
7-
Düzlem,
üzerindeki doğrulara göre eşit olarak yatan yüzeydir.
8-
Düzlem açısı, aynı doğru üzerinde
olmayan ve birbirine dokunan çizgilerin birbirine göre eğimidir.
9-
Açıyı meydana getiren çizgiler düzgün
birer çizgi ise, bu açı “Düzkenar” olarak adlandırılır.
10-
Bir doğruya çizilen bir başka doğru,
oluşturduğu iki açıyı da birbirine eşit olarak oluşturuyorsa iki açı da dik açı
olarak adlandırılır. Doğrular da dik doğrular olarak adlandırılır.
11-
Eğer bir açının büyüklüğü, bir dik
açıdan fazla ise bu açıya geniş açı denir.
12-
Eğer bir açının büyüklüğü, bir dik
açıdan daha az ise bu açıya dar açı denir.
13-
Bir alanın sonlandığı yere sınır
denir.
14-
Belirtilen sınırlar arasında kalan
kapalı bölge, şekil olarak adlandırılır.
15-
İçindeki belirli bir noktadan çıkan
her doğrunun kenarlara kadar kat ettiği mesafenin eşit olduğu şekle çember
denir.
16-
Madde 15’te bahsedilen o noktaya
ise çemberin merkezi denir.
17-
Çemberin Merkezinden geçen ve çemberin
sınırları ile sınırlanan doğru parçasına çemberin çapı denir ve bu doğru
parçası, her düzgün çemberi eş iki parçaya böler.
18-
Madde 17’de bahsedilen iki eş parçanın
her birine yarım çember denir ve merkezleri, tam çemberin merkezi ile aynıdır.
19-
Sınırlarını doğruların oluşturduğu
şekillere düzkenarlı çokgenler denir. Üç kenarı var ise üçgen, dört kenarı var
ise dörtgen vb. basitçe ikiden fazla kenarı varsa çokgen denir.
20-
Üçgen olarak tanımlanan şekil,
eğer üç kenarı da eşit ise eşkenar üçgen, iki kenarı eşit ise ikizkenar üçgen,
her kenarı farklı ise çeşitkenar üçgen olarak adlandırılır.
21-
Bir üçgenin açılarından bir tanesi
dik ise bu üçgen dik açılı üçgen, geniş ise geniş açılı üçgen, 3 açısı da dar
ise dar açılı üçgen olarak adlandırılır.
22-
Dört kenarlı şekillerde şekil; şeklin
her kenarı eşit ve dik ise kare, kenarları eşit değil ama her açısı dik ise dikdörtgen,
her kenar ve açısı eşit olmasa da karşılıklı kenarları ve açıları eşit olan
cisme eğik dörtgen, bu sınırlamaların hiçbirine uymuyorsa yamuk olarak adlandırılır.
//(biliyorum, okuması uzun ve 45 kelimelik bir
cümle ama elimden gelen en iyi özet bu idi)
23-
Paralel doğrular, hiçbir mesafede
birbirlerini kesmezler; sonsuza dek uzatılsalar bile.
Bu 23 madde (okurken boğulduğunuzun farkındayım,
ben de yazarken boğuldum maalesef), Öklid Geometrisini tanımlarken kullanılan
23 madde olarak tanımlanabilir. Bir nevi Öklid Geometrisinde sonraki önermelere
ve aksiyomlar için temel görevi gören 23 madde olarak da söylenilebilir.
Aksiyom demişken, Öklid geometrisinin 5 tane temel aksiyomu vardır. Bunlar (evet,
yine bir liste üzgünüm):
1- Herhangi iki nokta arasında tek bir doğru vardır.
2- Bir doğru, sonsuz mesafede hala tek doğru formunu koruyabileceği biçimde
uzatılabilir.
3- Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap mesafesi ile düzgün bir
çember çizilebilir.
4- Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5- Belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruyla
hiçbir zaman kesişmeyen bir ve sadece bir doğru çizilebilir.
Evet, sonunda bitti
: D. Şimdi diyeceksiniz bana “İlter, bu maddeler nedir acep?”. Açıklayayım, bu
maddeler; Öklid geometrisinin bütün mekaniklerini açıklayan tanımlardır.
Küresel ve parabolik geometrinin tanımlarını ve aksiyomlarını eklemeyeceğim,
çünkü sadece “Küresel Geometri’nin tanımları” adına yaklaşık 100 sayfalık
kaynaklar var. İsteyenler için bunları da bloğun sonuna ekleyeceğim. Şimdi,
karşılaştırmalı kısma geçebiliriz.
Küresel geometri
ile başlayalım. Öncelikle küresel geometrinin ne olduğunu açıklayayım. Küresel
geometri, düzlem olarak bir kürenin yüzeyini ve uzay olarak da z ekseni
eklenmiş bir düzlem yerine bir küreyi esas alan geometrik sistemdir. Küresel geometri
ve Öklid Geometrisinin aksiyomlarının ilk dört tanesi aynıdır. Farklı olan temel
aksiyomu, yani 5. Aksiyomu, ise “Birbirine paralel iki doğru çizilemez” olarak
verilebilir. Yine bir soru alır gibiyim “E İlter, o zaman coğrafyadaki
paraleller nasıl oluyor?”. Şöyle ki, küresel geometride çizilen her doğru,
kürenin ekvatoru gibi çevresini sarar. Bunun nedeni, bir doğrunun küresel
geometride çizgi formunu koruyarak başladığı yere dönmesinin tek yolunun, o küreyi
iki eş parçaya ayıracak çizgiden geçmesi olmasıdır. Bu durumda küresel
geometrideki doğrular; coğrafyadaki paraleller gibi değil de meridyenler gibi
karşımıza çıkar ve bir noktada elbet kesişirler.
Şimdi sıra geldi
parabolik geometriye. Parabolik geometri, basitçe yamuk yumuk bir alan içerisinde
çalışılan geometridir. Mesela bir çam kozalağı üzerinde geometri yapmaya çalışırsanız,
karşınıza çıkan şey parabolik geometridir. Parabolik geometri, ilk 4 aksiyomunu
diğer iki geometri türü ile paylaşır. Tek ve temel fark, yine 5. aksiyomdadır. Parabolik
Geometrinin 5. aksiyomu “Belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan,
verilen doğruyla asla kesişmeyen sonsuz sayıda doğru çizilebilir.” şeklinde verilebilir.
Bu durumda
aksiyomlar üzerinden konuşursak, üç geometrik sistem de kurallar açısından
benzer fakat uygulama açısından birbirinden çok farklıdırlar. Mesela Öklid
geometrisinde, bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derece iken küresel
geometride 180 dereceden daima büyük; parabolik geometride ise 180 dereceden büyük
veya küçük olabilir. Bu durumun en temel nedeni, geometrilerin kullandıkları
yüzeylerin birbirlerinden farklı olmasıdır.
Öklid geometrisinin
kullandığı yüzey (düzlem), Kartezyen koordinat sistemi olarak tanımlanabilir. Z
ekseni eklenerek 3. Boyut kazandırılabilir. Şıı şekilde gösterilir:
Küresel geometrinin kullandığı yüzey ise bir
küredir; şu şekilde gösterilebilir:
Parabolik Geometri ise parabolik koordinat
sisteminin kullanır. Şu şekilde gösterilebilir:
Kısaca, farklı geometrilerin farklı özelliklerinin en büyük nedeni; kullandıkları koordinat sistemlerinin farklı olmasıdır : D
Kaynaklar:
https://tr.wikipedia.org/wiki/Öklid_geometrisi
https://storage.lib.uchicago.edu/pres/2014/pres2014-0682-02.pdf
http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/113/2018/oklid-kitap-i-sinan-sertoz-2018-5-8.pdf
https://mathstat.slu.edu/escher/index.php/The_Three_Geometries
http://www.math.muni.cz/~slovak/Papers/examples.pdf
Yorumlar
Yorum Gönder