Matematiğin en ikonik dizisi nedir? Sanırsam hepimiz sayma sayılarından ve tam sayılar kümesinden sonra sonra Fibonacci sayı dizisi konusunda hemfikir olabiliriz. Fibonacci sayı dizisindeki temel mantık, ilk basamak dışında her basamak kendinden önceki iki basamağın toplamı şeklinde ilerler. Mesela bilinen en basit ve temel Fibonacci dizisi 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 olarak başlayan Fibonacci dizisidir. Öte yandan 9 - 9 - 18 - 27 - 45 - 72 de bir Fibonacci dizisidir.
Fibonacci sayı dizisinin hikayesi hepimizce az buçuk tanıdıktır. Leonardo Fibonacci'nin bir arkadaşı ona bir soru soran bir mektup gönderir. Mektup aşağı yukarı şu tatta ve anlamdadır:
Sevgili Fibo,
Hayal et ki ben sana bir çift tavşan verdim. Bu tavşanlar her ayda bir çoğalıyor ama şöyle bir durum var, ertesi ay doğan tavşanlar da kendi aralarında her ay bir çift daha oluşturacak şekilde çoğalabiliyor. 1 Aylıktan küçükler ise çoğalamıyor. Tavşanlar hiç ölmüyor. Her çift bir kere X kadar ay sonra bu tavşanların sayısı ne kadar olur?
Fibonacci, çoğalabilen tavşan çiftlerini kullanarak şu şekilde bir yöntem ile cevap verir.
İlk ay: yavru tavşanlar büyüme aşamasındadır ve çoğalmazlar. Bu durumda 1 çift yeni doğmuş, 0 çift 1 aylık ve 0 çift üretken tavşanımız vardır.
Yenidoğan = 1
1 aylık= 0
Yetişkin = 0
TOPLAM = 1
İkinci ay: Yavru tavşanlar bir aylık olmuşlardır ama hala yavru yapamıyorlar. Yavru dağılımı ilk ay ile aynı.
Yenidoğan = 0
1 aylık = 1
Yetişkin = 0
TOPLAM = 1
Üçüncü ay: Yavru çifti hayatlarının ikinci ayında bir çift yavru oluşturdu. Şu anda 1 çift yeni doğmuş, 0 çift 1 aylık ve 1 çift üretken tavşanımız vardır.
Yenidoğan = 1
1 aylık = 0
Yetişkin = 1
TOPLAM = 2
Dördüncü ay: Yavru tavşan çifti ve Yetişkin çift olarak iki hayvan çiftimizden yetişkin çift bir çift yavru daha yaptı. Geçen ayın yavruları ise şu anda 1 aylık ve yavru yapmazlar.
Yenidoğan = 1
1 aylık = 1
Yetişkin = 1
TOPLAM = 3
Beşinci ay: Bu ay, önceki ayın 1 aylık çiftleri de yavru yapacaktır. Bu durumda hayvan sayıları şu şekilde sıralanır:
Yenidoğan = 2
1 Aylık = 1
Yetişkin = 2
TOPLAM = 5
Tavşanların örüntüsü, Fibonacci sayı dizisi ile örtüşük gitmektedir. Burada sabaha kadar bu tavşanları yazabiliriz ve hala bu dizide kalacaktır. Bu şekilde arkadaşı ile ufak bir matematiksel aydınlanma yaşayan Fibonacci, muhtemelen en başta basit bir sayı dizisinden çok daha fazlasını bulduğunu kavrayamadı. Bu dizi nedense yaşam formlarında çok farklı yerlerde çok farklı şekillerde önümüze geliyor. Öyle ki notilus kabuğu ve Ayçiçeği gibi çok alakasız iki farklı yerde bile bulabiliyoruz fakat tabi ki de bize doğa direkt olarak sayılar yazan bir notilus kabuğu vermiyor (Belki de veriyordur?).
Fibonacci sayı dizisini kullanarak dünyadaki en kusursuz spiral desenlerinden birini elde edebiliriz. Bu basitçe şu şekilde gerçekleşir, Fibonacci dizisindeki değerleri her kenarı o değer kadar olan kareler çizmekte kullanır ve bu karelerin köşelerini kesintisiz ve eşit genişleyen bir parabol ile birleştirirsek:
Büyük parça / küçük parça = Bütün / Büyük parça
Bunu bir doğru üzerinde uygularsak bu oran 1.618 civarında bir sayı çıkıyor. Bu spirali gözlemlediğimiz birkaç durum:
Günlük hayatta sıkça çitlediğimiz ayçekirdekleri üretilirken Ayçiçeklerinden hasat edilir. Burada içteki tohumlar dıştakinden daha küçüktür ve aynı yayı daha ufak alanda çizebilirler. Bu mantık ile baktığımızda aslında buradaki spiral altın oran ve Fibonacci spirali ile tamı tamına örtüşüyor.
Burada yukarıda (Bilmeyenler için ekleme ihtiyacı hissettim. Ne de olsa "In a Nutshell" mantığı zemin bilgisi olmadan biraz zor işleyecektir.) bir notilus kabuğunun yatay kesiti var. Burada Fibonacci spirali, şema olmadan da görülebilse ile eklenmiş diyagramı aşağıya ekliyorum:
Bunun dışında bazı örnekler de şu şekilde verilebilir: (Researchgate'e teşekkürler)
Yorumlar
Yorum Gönder