Bir banyo tasından süregelen güzel bir hikaye desem? Evet, bugünün konusu Arşimet ve EUREKA!!! ifadesinin hikayesi (ve bir matematik blogu olduğumuz için bunun matematiksel incelemesi ve arkaplanı) bugün birkaç dakika boyunca bizimle olacak : D (Çooooook önemli not: bu kimyanın altındaki matematiksel işlemleri baz alan bir blogdur ve aynı zamanda disiplinlerarası bir çalışma olarak değerlendirilebilir.)
Önemli semboller:
D: Özkütle
V: Yoğunluk
M: Kütle
Mol: Mol kütlesi (açıklaması aşağıda yer alıyor)
Arşimet'in suyun kaldırma kuvveti ile alakalı hikayesi, tarih sahnesinde karşımıza iki şekilde çıkar. Bu hikayelerden ilki, Siracusia (Sicilya) kralının bir taç yaptırmak istemesi ile başlar. Kral, bir demirciye (veya o zaman altın işleyen kişi kim ise emin olamadım) gösterişli bir taç yapmaya yetecek kadar altın verir. Taç, kralın eline ulaşır fakat kral, demircinin -veya kuyumcunun- tacın altınını belirli bir oranda gümüş karıştırdığından şüphelenir. Bunun üzerine Arşimet, altının karakteristik özellikleri üzerinden bir yöntem belirler.
Altın, diğer her saf madde (Kimya terimi olduğu için basitçe açıklayayım: içerisinde tek tip tanecik (molekül ise molekül, ayrı atomlardan ise tek cins atom içeren madde) gibi belirli bir hacimde belirli bir kütleye sahiptir. Bu, altın için oda koşullarında 19.3 gram / santimetreküp gibi bir değere denk gelir. Bunun matematikten de yararlanarak elde edilen ve daha güvenilir bir ölçme metodu ise mol ile ölçmektir. Mol denilen kavramda 1 Avogardo sayısı kadar taneciğin kütlesi alınır. Öncelikle avogardo sayısı çok büyük olduğu için üslü sayılar yardımımıza yetişir fakat buna rağmen avogardo sayısı dediğimiz sayı yaklaşık olarak 6.02*(10^23)'tür. Yani 602000000000000000000000 adet taneciğin kütlesi, o taneciğin mol kütlesini verir. Altın için buradaki değer yaklaşık olarak 197 gramdır. Arşimet'in gerekli ölçü aletleri olmadan bu sayıyı elde etmesi imkansızdı bu nedenle biz birim küp hacimdeki kütle üzerinden yapılan işlemleri göstereceğiz.
Arşimet, kralın yaptırdığı tacın içerdiği altın miktarını tespit etmek için bir kap su ve bir terazi kullanır. Bir cismin kütlesi (terazi ile ölçülen değer) hacmi ile yoğunluğunun çarpımına denk gelmektedir. Buradan kütle adına şu işlemleri çıkarabiliriz:
Tacın kütlesi: V(taç) * D(taç
Tacın yapıldığı altın külçesinin hacmi: Yükseklik * Genişlik * Uzunluk
Tacın yapıldığı altının yoğunluğu: 19,3 gr / cm^3
Tac için kullanılan altın (veya kuyumcu açısından bakarsak toplam materyal) kütlesi sabittir. Bu durumda yukarıdaki değişkenlerden kütle sabit ise farklı bir materyal kullanılması hacmi etkileyecektir.
V = M / D ve M sabittir. O zaman D ile V ters orantılıdır.
Eğer altının kütlesi sabit ise D yani özkütlede bir değişim ters orantılı olarak hacmi etkileyecektir. Arşimet Problemi'nde ise bu durumu gümüş üzerinden açıklayabiliriz.
Gümüş, altından daha düşük bir özkütleye sahiptir ve bu nedenle gümüş, eşit kütlede altından daha fazla yer kaplar. Mesela 100 gr altın 20 gr / cm^3 D yüzünden 5 cm3 hacim kaplar. Gümüş ise 10 gr / cm^3 (10,5 gr / cm^3) D değeri olduğundan dolayı değişkeni değiştiririz. 100 gr gümüş / 10 gr/cm^3 = 10 cm^3 hacimde gümüş eder. Yani gümüş, aynı kütledeki altına kıyasla iki kat daha fazla yer kaplar.
Arşimet de bu farktan yararlanmıştır. Kral'ın yaptırdığı taç hacim olarak daha büyük çıkmıştır ve olay demirci/kuyumcu üzerine ufak bir idam ile kapanmıştır. Buradaki asıl önemli atılım ise kaldırma kuvveti ve Arşimet Prensibi'dir.
Arşimet, taçlar ve yoğunluk üzerine bazı çıkarımlar yaparken suyun kaldırma kuvvetini keşfeder. Kaldırma kuvveti açısından bir örnek olarak şu verilebilir:
Arşimet'in altından banyo tası 100gr ağırlıktadır fakat bir külçe yerine çanak şeklindedir ve içi boştur. D = M/V formülüne göre burada M hala 100 gr olur fakat banyo tasının suda kapladığı alan 5 cm^3 değil de 100 cm^3 değerinden büyük olursa tas suda yüzer. Bu durumda da Arşimet prensibi keşfedilmiştir.
Suyun Kaldırma Kuvveti = Nesnenin yerini kapladığı suyun ağırlığı
Burada ağırlık bağlamında altın'ın 100 gram olduğunu söylemiştik. 1 kg = 10 Newton ilişkisini koruyarak doğru orantı kurmamız durumunda 1 newtonluk bir kaldırma kuvveti bu tasın batmasına engel olacaktır. Bunun için bu tasın 100 gram suyun yerini kaplaması demektir. Suyun da özkütlesi 1 gr/cm^3 olduğu için bu tasın 100 cm^3 suyu yerinden etmesi gerekmektedir sonucuna ulaşılabilir. Arşimet'in hikayesinin diğer varyantı ise bir gemi inşasına dayanır ve bu prensip ile çalışır.
Arşimet'in hikayesinin matematiği bu şekildedir : D
Yorumlar
Yorum Gönder