Yerçekimi olmadan kütle ölçmek? Uluslararası Uzay İstasyonu'nda diyetlerini bozanların ilgisini çekecek güzel bir hikaye : D (Uzayda diyetisyeniniz kilo aldığınızı fark edebilir mi?)

         Bir sabah uyandınız. Dün akşam pidecide biraz fazla yemiş, eve gelince de şişkin halde uyuyakalmış olduğunuzu fark edince tartılmak istediniz. Evinizdeki tartıya çıktınız ve tartı, size 70 kilodan 72 kiloya çıktığınızı söyledi. Burada tartınız, basit bir fizik ve temelindeki matematik sayesinde ağırlığınızı ölçtü. Dünya'da bunu hesaplamak kolaydır çünkü yerçekimi ivmesini biliyoruz. Ya uzay istasyonundaki astronotlar nasıl ölçülürler? Bugün, bu minik hikayenin arkasındaki matematiği inceleyeceğiz.

        Dünya'da 100 kilogram olan karakterimiz, tartıya çıktığında yerçekimi ve kütlesinden ötürü bir ağırlığı bulunur. Bu ağırlık, bizim tartılarda okuduğumuz değer olan "Kilogram" cinsinden gösterilir hesaplaması şu şekildedir:

Öncelikle ağırlık, bir kuvvet birimidir. 

F = m * a

Bu formül, bize kuvveti bulmanın yolunu kütle * ivme olarak verir. 

ivme'yi alt dallarına ayırmak için yapmamız gereken şey hız değişimi / zaman değişimidir. Burada yerçekimi ivmesini hesaplamak adına hız değişimi / zaman değişimi yapabiliriz. Hızı ayırırsak da zaman değişimi / yer değişimi olarak hesaplanabilir. 

İvmeyi bir kenara bırakıp kütle kısmına geçersek şu hesaplamalara ihtiyaç duyarız:

Eğer ki karakterimiz mesela 100 kilogram ise, ve yerçekimi ivmesi yaklaşık olarak 9.8 newton/cm^2 ise

100 * 9,8 = 980 newtonluk bir kuvvet uygular. Genel olarak her 9.8 newton ağırlık, Dünya üzerinde 1 kilograma eşdeğerdir dersek 980 newton'luk bir kuvvet uygular zemine. 

Burayı daha da çok açarsak kütlenin özkütle (g/(cm^3)) * hacim (cm^3) olarak bulunur. Bunun işleminin yapılması durumunda 

[(gram / cm^3) * cm^3] denkleminde cm^'3'ler birbirini sadeleştirir. Aynı şekilde kg/m^3 de kullanılabilir. Bu durumda elimizde kalan son unsur Gram veya Kilogram, yani kütle olacaktır.

Bahsettiğimiz insanın hacmi için internette araştırdığım bilgiler kadarıyla 70 kilogramlık bir insan, 65 litre civarı bir hacme sahiptir. biz de karakterimize 100 litre dersek eğer (insan vücudu eğer tamamen boşluksuz olsaydı daha düşük bir değer çıkardı fakat hem boşluklar adına hem de hesaplamanın gösterimindeki kolaylık açısından 100 litre alıyorum) formülümüz şu şekilde çıkacaktır:

(100 kg / 100 cm^3) * 100 cm^3 = 100 kg

Eğer ki Dünya üzerindeki ağırlık hesaplamasını bir denklemde toplamamız gerekirse:

[(Madde Miktarı / Hacim) * Hacim] * [(Hız  Değişimi / Zaman Değişimi) / Zaman değişimi)]

Bu denklemde şu şekilde SI birim sisteminde geçen terimleri kullanırsak:

Bu eşitlikteki birimler:

Kütle (madde miktarı) = m

Hacim = V 

Hız = v 

Değişim: Δ (delta)

 Zaman: T

 

Burada Kuvvet = Kütle * Zaman formülü ile bir insanın uyguladığı kuvveti bulabiliriz. Yukarıda sözlü olarak açıkladığım değerleri oturtursak 980 newton gibi bir kuvvet oluşturur ve biz, buna 98 kiloluk bir insan deriz. 100 kilogram kütledeki bir insan, 980 newton ağırlıkta ölçülmüş olur (halk arasındaki tabir ile 98 kilogram (halk arasındaki deyiş manasındaki kilogram, kütle birimi olan kilogram'ın yanlış bir kullanımıdır) tutar)

 

Eşitlikte kütle yerine X koyduktan sonra diğer verileri ekleyerek kütleyi bulabiliriz.

 

Burada daha ileriye gitmenin tek yolu ise kütleyi mol bakımından yazmaktır. Bunun için de hesapladığımız insanda kaç atom olduğunu bulmalı, sonrasında bu sayıyı avogardo sayısına (6,02 * 10^23) bölerek x'i bulmalı, ardından da karakterimizin kütlesinde x mol atom olduğunu söyleyerek 100'ü x'e bölerek karakterimizin mol kütlesini ve kaç mol atom içerdiğini ölçeriz. 

        Peki ya uzaydaysanız, ve kütleniz ile çarpacağınız bir yer çekimi ivmeniz yoksa? Kurgusal karakterimizi uzayda nasıl tartarız? Ve bunu matematiksel açıdan açıklayabilir miyiz?

Yerçekimi olmadan ağırlık kavramı oluşmaz, çünkü kütleniz ile etkileşecek bir yerçekimi ivmesi bulunmaz. Fakat bu hala birim hacimde yer kaplayan bir cisim olduğunuzu değiştirmez, değil mi? Yani hala yukarıda değindiğimiz "(madde miktarı / hacim) * hacim" bağlamında bir karşılığınız var

Aslında yerçekimi, burada ivmeyi oluşturan bir unsurdur fakat ivmenin tanımına baktığımızda hız değişimi / zaman değişimi olduğunu görürüz. 

Uluslararası Uzay İstasyonu'nda (bilindik adıyla ISS) Colombus modülünde bir alet bulunmaktadır. İsmi kısaca SLAMMD (Space Linear Acceleration Mass Measurement Device) olarak kısaltılır. Burada ivme faktörü, cismin kinetik enerjisi üzerinden hesaplanır. 

kinetik enerji de yerçekimi ivmesi gibi kütle ölçümünde kullanılabilir. Bahsettiğimiz SLAMMD aygıtı, bünyesinde yaylar  bulundurur. Yerçekimi ivmesi olmasa bile bu yaylar ile cismin belirli bir hızda hareketi sonucundaki kinetik enerjisi ölçülebilir. Kinetik enerji, hız * kütle olarak verilir. bu durumda eşitliğimizi şu şekilde yapabiliriz:

Dünya üzerinde cismin yere uyguladığu kuvveti ağırlık olarak hesaplamıştık ve buradan kütleyi bulmuştuk, hatırlıyorsunuz değil mi? Burada ise kinetik enerjiyi hesaplayıp kuvvet olarak yazıyoruz. Cismin kinetik enerjisi, yani momentumu, ivmesi ile kütlesinin çarpımına eşittir. Uzayda ağırlığınız olmasa bile kütlenizden kaynaklı bir kinetik enerjiniz ve ivmeniz hala mevcuttur. İşte bu sayede uzayda bile olsanız, diyetisyeninizden kaçamazsınız : D