Çemberler ve
üçgenler, Geometri dalının temel taşları olarak tanımlanabilir. Trigonometrinin,
üçgenlerin kenarları arasındaki ilişkileri aktif bir biçimde kullanan bir dal
olmasından kaynaklı olarak pek çok değişik kural veya formül olduğunu hepimiz
az buçuk biliyoruz. Bugün, burada size bu bağıntılardan birisi olan Menelaus Teoremini
açıklayacağım.
Şimdi açıklamaya
geçmeden önce diyeceksiniz, İlter acaba bu Menelaus Kimdir? Kısaca açıklayayım.
Tarihte Menelaus isminde iki farklı tarihsel karakter vardır; bunlardan bir tanesi
Truvalı Helen’in kocasıdır, ki konumuz bu değil, diğeri ise İskenderiye’li
Menelaus’tur. Sphaerica of Menelaus isimli çalışması, tarih boyunca kayda geçen
en eski trigonometri ve küresel geometri çalışmalarından birisidir. Neyse, şimdi
gelelim bu Menelaus abimizin yarattığı teorem nedir? Evet efendim, karşınızda “Menelaus
Teoremi”
Menelaus Teoremi, iki durumda geçerlidir. Bu durumlardan ilki, bir üçgenin iki kenarını ve üçüncü kenarının uzatılmış halini aynı anda kesen bir doğruyu içeren oluşumdur. Sizin için çizdiğim şu illüstrasyon, açıklamada yardım edecektir (Paint nedeniyle biraz tırtıklı olabilir, kusura bakmayın):
Burada
(ABC) bir üçgen, |EF|
|CB|=
D, |AB| kenarının uzantısı ile |EF| doğru parçasının kesişimi de F olarak verilmiştir.
Menelaus Teoremi’nin geçerli olması için EF doğrusunun, ABC üçgenini çift
sayıda yerden (0 da bir çift sayıdır, aşağıda açıklayacağım) kesmesi gerekir. Menelaus
Teoremi’ne göre:
Yukarıdaki işleminin sonucu 1 çıkacaktır.
Bu bağıntıyı alternatif olarak şu şekilde de yazabiliriz:
Menelaus Teoreminin geçerli olduğu bir diğer durum ise:
Bu
durumda |DF| doğrusu, (ABC) üçgenini hiç kesmez (0 yerden keser, yani çift
sayıda yerden keser). Burada da Menelaus teoremi geçerlidir.
Şimdiiii, geldik Menelaus Teoremi’nin
Ispatına. Literatürde bu teoremin ispatı adına birkaç farklı yol bulunur fakat
burada en anlaşılır olanını açıklayacağım.
Bu teoremin ispatı yapılırken |FD| doğru
parçasına A, B ve C köşelerinden dikmeler indirilir. Bu dikmelere a, b ve c
diyebiliriz:
Bu aşamadan sonra benzer üçgenler
üzerinden ispat yapılabilir. Burada tabanı a olan ve F noktasını tepe açısı
alan üçgen ile tabanı C olan ve F noktasını tepe açısı alan üçgen benzerdir. Aynı
mantık üzerinden c dikmesini taban, D noktasını tepe açısı alan üçgen ile b
dikmesini taban, D açısını tepe açısı alan üçgen de benzerdir. Bu durumda
benzer üçgenler kurmuş oluruz. Bu üçgenler ve kenar oranları üzerinden şu
işlemi çıkarmak mümkündür:
Yukarıdaki asıl denklemi hatırladınız mı?
Bu oran ile yukarıdaki denklemi üst üste getirirsek elimize şu sonuç geçecektir:
Bu durumda Menelaus Teoreminin 1’e eşit
olduğunu görebiliriz : D
Kullandığım ve okumanızı tavsiye ettiğim kaynaklar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus%27s_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus_of_Alexandria
https://books.google.com.tr/books/about/English_Translation_of_the_Sphaerica_of.html?id=dCnDjwEACAAJ&redir_esc=y
https://www.britannica.com/topic/Sphaerica
Yorumlar
Yorum Gönder