Keskin Nişancıların Matematiği (iki yönlü hareket denklemlerinin parabol eşitlikleriyle özdeşleştirilmesi)

 Şimdi bi baktım bloglarıma, ve dedim ki "yahu bi parabol katmamışım hep sayı sistemleri hep üsler kuvvetler falan filan. Ve tıpkı Arşimet gibi hamamda mükemmel bir blog fikri esti aklıma.

"Keskin nişancıların matematiği"

Şimdi baştan uyarayım, 10. sınıftaki ile karıştırmayın o balistik idi bu ise paraboller ile alakalı ve ben Türkçesinin ne olduğunu bilmiyorummm : )

Bugünkü konumuz "Parabolic Trajectory ve Projectile Motion" kavramlarının arkasındaki matematik : )

Şimdi biraz karmaşık bloglarımda yaptığım bir şeyi burada da yapacağım ve size fiziksel niceliklerin sembollerini ekleyeceğim : D

G = Yerçekimi ivmesi (dünya için 10 m/s^2 kabul edeceğiz)

t = zaman

x = mesafe 

a = ivme 

v = hız 

h = yükseklik

Artık ana konumuza geçebiliiriz. Bir mermi, ateşlendiğinden itibaren önceden belirlenmiş bir rota izler. Bu rota, genellikle bir parabol olarak tanımlanır. Parabolün tepe noktası, silah kullanıcısı x ekseni olarak tanımlanan bir yükseklikte olduğu müddetçe daima pozitif bir y değerine sahiptir. Bu bilgi cebimizde kalsın, ileride fiziksel formülleri matematikte parabolün denklemine dönüştürürken işimize yarayacak.  

Bir mermi ateşlendiği andan itibaren yerçekiminin etkisiyle alçalmaya başlar. Bu nedenle keskin nişancılar, yukarıya doğru nişan alarak atar. bu aşağı inme mesafesinin formülü ise şu şekildedir:

H = 1/2g . t^2

bu eşitlik, serbest bırakılan bir cismin yere ulaştığı zaman, yükseklik ve yerçekimi ivmesi arasındaki ilişkiyi verir. 

Mesela dünya üzerinde 80 metreden bırakılan bir cisim:

80 = 1/2 . 10 . t^2

80 = 5 t^2 

16 = t^2 

4 = t 

olmak üzere 4 saniyede yere düşer. 

Dikey atışlarda da bu formül kullanılır. Temel farkı, cismin yukarı çıkarken harcadığı süre, aşağı inerken harcadığı süreye eşittir. 

Ve buradan başka bir değere geliyoruz: süre

Süre, merminin hedefe vardığı zaman olarak tanımlanabilir. Matematikte parabolün iki kökü arasındaki mesafe olarak tanımlayabileceğimiz bu unsuru askeri alanda "hedef ile atıcı arasındaki yatay mesafe" olarak tanımlayabiliriz. 

Burada mesafe değerini (metre cinsinden) mermi hızına bölünmesi (metre / saniye cinsinden), merminin atıldığı zaman yerçekimi nedeniyle alçalacağı yüksekliğin hesaplanması açısından önemlidir. 

Mesela bir örnek çözelim 

Hedefiniz ile aranızda 4 kilometre mesafe var. Tüfeğinizin mermi çıkış hızı (hava sürtünmesini hesaba katmazsak) 1000 m/s. Bu durumda merminizin yerçekimi nedeniyle düşecek 4 saniyesi var. Bu mermiyi yukarı yönde atarsak 2 saniye tırmanır ve 2 saniye düşer ( V(son) = V ilk x 2.a.x formülü ile ilişkilendirilebilir fakat gerek olduğunu sanmıyorum). Bu 2 saniye değerini serbest düşüş denklemine koyarsak:

H = 1/2 (10) x 2^2 = 5 x 4 = 20m yükseliş ve 20 metre düşüş yaşayacaktır. 

Bu durumda gerekli bütün verilere sahibiz Bu verileri bir şemaya dahil edersek eğer: 

. 

Bu durumda elimizde x1, x2, tepe noktası koordinatları olan bir parabol olmuş oldu. Buradan yola çıkarak parabolün denklemini yazabiliriz. 

parabolün denklemi : n(x-x1)(x-x2)  veya n(x-r)^2 + k şeklinde yazılabilir.

n (x-0) (x-4000) veya n(x-2000)^2 + 2000

n'yı bulmak adına orta noktayı denkleme katarsak örnekteki merminin denklemi şu şekilde olur: 

n(2000)(-2000) = 20 

-4.000.000n = 20 

n = 1/200.000 

Örnekte eklediğimiz parabolün denklemi budur ve 2. yol olarak bu şekilde parabol çözülebilir. Bu şekilde Projectile Motion ile parabol denklemleri arasındaki ilişkiyi kurabiliriz. 

V(mermi) / x (mesafe) = t 

T, merminin hedefe varış zamanını, aynı şekilde merminin serbest düşüş yapacağı zamanın yarısını verecektir. Burada merminin hedefe gittiği zamanın yarısı  alarak parabolün tepe noktası'nın y ekseni (h) hesaplanabilir.

h = 1/2g . t^2 

Yani burada açıklamaya çalıştığım şey, keskin nişancılar aslında oldukça iyi matematikçiler; ayrıca newton fiziği içten içe modifiye edilmiş bir matematik sistemi gibi : D